Narodil se 28. října (9. listopadu) 1890 v chutoru Dudnikovo u Poltavy v rodině ukrajinského rolníka. V roce 1912 vstoupil do armády jako řadový dělostřelec. Bojoval v první světové válce a po uchopení moci bolševiky se stal Rudogvardějcem. Již v listopadu 1917 zformoval v Poltavě rudogvardějský oddíl, který bojoval na Ukrajině proti Němcům a hajdamákům hetmana Skoropadského. V dubnu 1918 vstoupil se svým oddílem do 5. ukrajinské armády pod velením K. V. Vorošilova. Vyznamenal se zejména při obraně Caricynu, byl několikrát raněn. Od června 1920 pak velel dělostřelectvu 1. jízdní armády S. M. Buďonného.
Po skončení občanské války se stal významným vojenským činitelem Rudé armády. V roce 1921 byl jmenován velitelem dělostřelectva Severokavkazského vojenského okruhu a zároveň se stal zástupcem a od roku 1926 náčelníkem dělostřelectva Rudé armády. Získal si důvěru vůdce strany J. V. Stalina, a v 30. letech patřil k jeho nejbližším spolupracovníkům.
V letech 1937 – 38 byl vyslán do Španělska jako vojenský poradce republikánské vlády pod pseudonymem „generál Kupera“. Po svém návratu byl v roce 1939 jmenován náměstkem ministra obrany SSSR. Zúčastnil se bojových operací v sovětsko-japonské válce u Chalchyn-golu v roce 1939 a sovětsko-finské války na přelomu let 1939/40. Po jejím skončení mu byla udělena v březnu 1940 udělena Zlatá hvězda Hrdiny SSSR a byl povýšen do hodnosti maršála Sovětského svazu. V témže roce byla agenty NKVD zatčena a poté bez soudu zavražděna Kulikova druhá žena Kira Simonič-Kulik. Jak vyšlo najevo z archívů o padesát let později, důvodem byla pouze její fyzická krása, která velice dráždila L. P. Beriju. Kulik sám tehdy v kruhu svých přátel řekl: „Toho maršála mi dali jako náplast za moji ženu.“
Na počátku války jako velitel 54. armády Volchovského frontu padl do obklíčení a jen s velikým úsilím se mu podařilo uniknout. Byl postaven před vojenský tribunál a v březnu 1942 degradován na general-majora. Od dubna do září 1943 velel 4. gardové armádě, se kterou se neúspěšně pokusil o prolomení blokády Leningradu. V lednu 1944 byl jmenován náčelníkem odboru pro formování a sestavování vojsk při Hlavním velitelství Rudé armády.
Po válce se stal zástupcem velitele Povolžského vojenského okruhu a v roce 1946 byl propuštěn do zálohy. V roce 1950 byl zatčen a po zinscenovaném procesu 24. srpna zastřelen. Následně mu byly mu odejmuty všechny řády a vyznamenání. Mezi argumenty k takovému postupu použil soud i jednu z Kulikových předválečných statí, ve které se snažil dokázat nepoužitelnost samopalů pro vojenské účely, když je označil za čistě „policejní zbraň“.
Po 20. sjezdu KSSS byl v roce 1957 plně rehabilitován, byly mu navráceny všechny vojenské řády a vyznamenání a znovu přiznána hodnost maršála Sovětského svazu.
